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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.2.
Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
b) $f(x)=\frac{3}{2-3 x}$ de orden 3 con $x_{0}=\frac{1}{3}$.
b) $f(x)=\frac{3}{2-3 x}$ de orden 3 con $x_{0}=\frac{1}{3}$.
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=\frac{1}{3}$ de la función $f(x)=\frac{3}{2-3 x}$
Reportar problema
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f\left(\frac{1}{3}\right) + f'\left(\frac{1}{3}\right)(x - \frac{1}{3}) + \frac{f''\left(\frac{1}{3}\right)}{2!}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{f'''\left(\frac{1}{3}\right)}{3!}(x - \frac{1}{3})^3 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=\frac{1}{3}$. Hacemos eso:
$ f(x) = \frac{3}{2-3x} $
$ f(\frac{1}{3}) = 3$
$ f'(x) = \frac{9}{(2-3x)^2} $
$ f'\left(\frac{1}{3}\right) = 9 $
$ f''(x) = \frac{54}{(2-3x)^3} $
$ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 54 $
$ f'''(x) = \frac{486}{(2-3x)^4} $
$ f'''\left(\frac{1}{3}\right) = 486 $
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = 3 + 9\left(x - \frac{1}{3}\right) + 27\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 81\left(x - \frac{1}{3}\right)^3 $