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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en x0x_{0}.
b) f(x)=32−3xf(x)=\frac{3}{2-3 x} de orden 3 con x0=13x_{0}=\frac{1}{3}.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 33 centrado en x=13x=\frac{1}{3} de la función f(x)=32−3xf(x)=\frac{3}{2-3 x}

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

p(x)=f(13)+f′(13)(x−13)+f′′(13)2!(x−13)2+f′′′(13)3!(x−13)3 p(x) = f\left(\frac{1}{3}\right) + f'\left(\frac{1}{3}\right)(x - \frac{1}{3}) + \frac{f''\left(\frac{1}{3}\right)}{2!}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{f'''\left(\frac{1}{3}\right)}{3!}(x - \frac{1}{3})^3

Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar ff y sus derivadas en x=13x=\frac{1}{3}. Hacemos eso:

f(x)=32−3x f(x) = \frac{3}{2-3x}
f(13)=3 f(\frac{1}{3}) = 3 f′(x)=9(2−3x)2 f'(x) = \frac{9}{(2-3x)^2} f′(13)=9 f'\left(\frac{1}{3}\right) = 9 f′′(x)=54(2−3x)3 f''(x) = \frac{54}{(2-3x)^3} f′′(13)=54 f''\left(\frac{1}{3}\right) = 54 f′′′(x)=486(2−3x)4 f'''(x) = \frac{486}{(2-3x)^4} f′′′(13)=486 f'''\left(\frac{1}{3}\right) = 486

¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

p(x)=3+9(x−13)+27(x−13)2+81(x−13)3 p(x) = 3 + 9\left(x - \frac{1}{3}\right) + 27\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 81\left(x - \frac{1}{3}\right)^3

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